Giúp mình câu này với ah. 

\(\left\{{}\begin{matrix}x;y;z\ge0\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\le x\\y^2\le y\\z^2\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2+x+1\le x^2+2x+1\\2y^2+y+1\le y^2+2y+1\\2z^2+z+1\le z^2+2z+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P\le\sqrt{\left(x+1\right)^2}+\sqrt{\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(z+1\right)^2}=x+y+z+3=4\)

\(P_{max}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị

\(3xy=x+y+1\ge3\sqrt[3]{xy}\Rightarrow xy\ge1\)

\(4xy=xy+x+y+1=x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)

\(P=\frac{1}{x\left(y+1\right)}+\frac{1}{y\left(x+1\right)}=\frac{2xy+x+y}{4\left(xy\right)^2}=\frac{5xy-1}{4\left(xy\right)^2}\)

Xét hiệu: \(P-1=\frac{5xy-1}{4x^2y^2}-1=\frac{\left(4xy-1\right)\left(1-xy\right)}{4x^2y^2}\le0\) với mọi \(xy\ge1\)

Vậy \(P\le1\)hay max P = 1.

Dẫu "=" xảy ra <=> x = y = 1.

Áp dụng BĐT Cauchy ta có: \(3xy\ge2\sqrt{xy}+1\Leftrightarrow xy\ge1\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(P=\frac{1}{x\left(y+1\right)}+\frac{1}{y\left(x+1\right)}=\frac{5xy-1}{xy\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=\frac{5xy-1}{4\left(xy\right)^2}\), đặt t=\(\frac{1}{xy}\)

\(f\left(t\right)=\frac{5}{4}t-\frac{1}{4}t^2\)đồng biến trên (0;1] nên f(t) đạt GTLN tại t=1

Vậy GTKN của P=1 đạt được khi x=y=1